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1. APLICACIÓN: Un virus informático de procedencia desconocida destruye un archivo A en función de un tiempo de acuerdo a la siguiente tabla:

t	0	0.5	1.0	1.5	2
A	0.33	0.4343	0.5716	0.7522	0.99

Si el tiempo t está dado en días y el archivo A está dado en términos de probabilidad de destrucción, halle una polinomio de grado máximo utilizando interpolación de Lagrange.

2.APLICACIÓN: Se quiere diseñar una porción de la montaña rusa de un parque de atracciones usando tres polinomios. La primera sección debe ser un polinomio P₁(x) de grado 1 que cubra una distancia horizontal de 30 metros, empezando a una altura de de 32 metros y terminando a auna altura de 20 metros. La tercera sección debe ser también un polinomio Q₁(x) de grado 1 que cubra una distancia horizontal de 18 metros y terminando a una altura de 24 metros. La segunda sección debe ser un polinomio P(x) (del menor grado posible) que cubra una distancia horizontal de 50 metros.

En el siguiente enlace, están los archivo con la solución realizada en Graph. Descargar Graph.

Link de descarga de ejercicios resueltos: http://www.gigasize.com/get/dnnylxrl61c

APROXIMACIÓN POLINOMIAL

(Para simular construcciones y proyectos de ingeniería se deben tener en cuenta las funciones que modelan los procesos. Los ingenieros de sistemas para hacer estas simulaciones deben tener todo este conocimiento)

1. Para nivelar una carretera de gran longitud L, se debe establecer un margen debido a la curvatura de la Tierra.

a. Utilice la serie del Polinomio de Taylor centrado en cero (Polinomio de Maclaurin) para demostrar que los tres primeros términos no nulos son:

f(x)=sec(x)= 1+1/2 x^2 + 5/24 x^4 +...

b. Para valores pequeños de x, utilice la aproximación f(x)= sec(x)= 1+1/2 x^2

y la figura para demostrar que la corrección por la nivelación de y=L^2/2R

, en donde R es el radio de la Tierra.

c. Calcule el valor necesario en pulgadas de la corrección por nivelación en el caso de una longitud de carretera de 1 milla. Use R=4000 millas.

Solución:

En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.

Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

En esta imagen se muestran, para cuatro puntos ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), la interpolation polinómica (cúbica) L(x), que es la suma de la bases polinómicas escaladas y₀l₀(x), y₁l₁(x), y₂l₂(x) y y₃l₃(x). La interpolación polinómica pasa exactamente por los cuatro puntos (llamados puntos de control) y cada base polinómica escalada pasa por su respectivo punto de control y se anula cuando x corresponde a los otros puntos de control.

Dado un conjunto de k + 1 puntos

$(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)$

donde todos los x_j se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal

$L(x) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x)$

de bases polinómicas de Lagrange

$\ell_j(x) = \prod_{i=0,\, i\neq j}^{k} \frac{x-x_i}{x_j-x_i} = \frac{x-x_0}{x_j-x_0}\cdots \frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}}\frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}}\cdots \frac{x-x_{k}}{x_j-x_{k}}$

Ejemplo

Se desea interpolar $f (x) = tan(x)$ en los puntos

$x 0 = - 1.5$	$f (x 0) = - 14.1014$
$x 1 = - 0.75$	$f (x 1) = - 0.931596$
$x 2 = 0$	$f (x 2) = 0$
$x 3 = 0.75$	$f (x 3) = 0.931596$
$x 4 = 1.5$	$f (x 4) = 14.1014$

Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica.

La base polinómica es:

$\ell_0(x)={x - x_1 \over x_0 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_0 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_0 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_0 - x_4} ={1\over 243} x (2x-3)(4x-3)(4x+3)$

$\ell_1(x)={x - x_0 \over x_1 - x_0}\cdot{x - x_2 \over x_1 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_1 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_1 - x_4} =-{8\over 243} x (2x-3)(2x+3)(4x-3)$

$\ell_2(x)={x - x_0 \over x_2 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_2 - x_1}\cdot{x - x_3 \over x_2 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_2 - x_4} ={1\over 243} (243-540x^2+192x^4)$

$\ell_3(x)={x - x_0 \over x_3 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_3 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_3 - x_2}\cdot{x - x_4 \over x_3 - x_4} =-{8\over 243} x (2x-3)(2x+3)(4x+3)$

$\ell_4(x)={x - x_0 \over x_4 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_4 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_4 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_4 - x_3} ={1\over 243} x (2x+3)(4x-3)(4x+3)$

Así, el polinomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los $\ell_i(x)$ y los valores de las abscisas: